Сложное поступательно-вращательное движение тела

Сложное поступательно-вращательное движение тела

Для описания поступательно-вращательного движения тела выбирают произвольную точку О, именуемую полюсом (она является началом некой передвигающейся системы отсчета), скорость поступательного движения которой известна. Эту поступательную скорость приписывают всем точкам тела. Дополнительно случайная точка тела крутится вокруг полюса О с угловой скоростью ωи линейной вращательной скоростью , где r – вектор, проведенный Сложное поступательно-вращательное движение тела из полюса О в рассматриваемую точку тела. Согласно обозначениям предшествующего раздела Полная скорость точки тела с учетом ее поступательного и вращательного движений в недвижной системе отсчета равна

.

Более обычным будет описание сложного движения, если полюс О избрать в центре тяжести С тела, в данном случае , или на моментальной оси вращения Сложное поступательно-вращательное движение тела, под которой понимают ось, проходящую через точку, скорость которой в хоть какой момент времени равна нулю: . В недвижной системе отсчета эта точка перемещается, изменяя свое положение в пространстве. Вокруг моментальной оси вращения все точки тела совершают в хоть какой момент времени чисто вращательное движение со скоростью , вектор которых перпендикулярен Сложное поступательно-вращательное движение тела радиус-вектору r, проведенному из полюса О на моментальной оси вращения в рассматриваемую точку.

Для тела, совершающего сложное движение, моментальная ось вращения всегда существует и может со временем поменять свое положение в пространстве и находиться вне либо снутри тела, также на его границе. При качении круглого тела по горизонтальной либо наклонной плоскости без Сложное поступательно-вращательное движение тела проскальзывания моментальная ось вращения находится в точке касания тела и плоскости. В недвижной системе отсчета она перемещается в пространстве. Познание положения моментальной оси вращения упрощает решение многих задач механики.

Пример 1. Диск катится по горизонтальной поверхности со скоростью . Отыскать скорости точек A и B, лежащих на ободе диска на его Сложное поступательно-вращательное движение тела вертикальном и горизонтальном поперечниках.

Решение: Более обычным будет решение, если полюс О избрать на моментальной оси вращения (рис.10). Из-за отсутствия проскальзывания эта ось находится в точке касания плоскости и диска, ее скорость . Вокруг моментальной оси все точки тела совершают чисто вращательное движение с угловой скоростью . Для скоростей Сложное поступательно-вращательное движение тела точек A и B получим , . Векторы скорости и ориентированы перпендикулярно к векторам и , проведенным из точки О в точки A и B.

Рис. 10 Рис.11

2-ой метод решения получим, взяв полюс в центре С диска (рис.11), передвигающегося со скоростью . В данном случае все точки диска движутся вперед со скоростью и крутятся вокруг Сложное поступательно-вращательное движение тела точки С с угловой скоростью , схожей для всех параллельных осей вращения. Линейные вращательные скорости всех точек на ободе диска ориентированы касательно к нему, схожи по величине и равны . Складывая векторы поступательных и вращательных скоростей геометрически, получим согласно рис.11 для скоростей точек A и B на ободе диска , . Скорость Сложное поступательно-вращательное движение тела точки О касания тела и плоскости

Ответ: .

Пример 2. Две параллельные рейки движутся в одну сторону с неизменными скоростями и . Меж рейками зажат диск радиусом , катящийся по рейкам без проскальзывания. Отыскать скорость центра С диска и угловую скорость его вращения, также положение моментальной оси вращения относительно центра С диска.

Дано: Отыскать:

Решение: Выберем Сложное поступательно-вращательное движение тела начало передвигающейся со скоростью системы отсчета в центре С диска, ось X в направлении движения реек, а ось Y перпендикулярно к ней.

Рис.12

Скорости вращательного движения точек A и B диска относительно центра С диска схожи по величине но обратны по направлению (рис.12), потому скорости этих Сложное поступательно-вращательное движение тела точек в недвижной системе отсчета будут равны

Это система 2-ух уравнений относительно 2-ух неведомых и , решая которую, получим

.

Для нахождения положения моментальной оси вращения О относительно центра С диска нужно учитывать, что в недвижной СО скорость точки О , а угловая скорость вращения ω относительно всех параллельных осей схожа. Имеем

Ответ: моментальная ось вращения О Сложное поступательно-вращательное движение тела находится от точки С в направлении CB на расстоянии r=2,5 м.

6. Среднее значение физической величины. Средняя скорость и ускорение.

Под средним значением функции на интервале понимают отношение площади под графикомэтой функции на этом интервале к величине этого интервала (рис.13).

Рис.13

Согласно математическому анализу площадь под графиком функции – это определенный Сложное поступательно-вращательное движение тела интеграл от этой функции на данном интервале . Имеем по определению

Из этого определения следует, что средние значения скорости и ускорения тела на временном интервале равны

В большинстве задач площади под графиками функций могут быть вычислены по формулам геометрии (формулам площадей прямоугольника, треугольника и трапеции), не прибегая к интегрированию. Потому первичным при нахождении Сложное поступательно-вращательное движение тела средних значений функций является построение графиков этих функций.

Интегральные представления средней скорости и ускорения , исходя из определений пути s и скорости v тела, могут быть записаны в виде

Тут значения функций и в моменты времени и .

При движении с неизменным ускорением .

Если функция имеет вид прямой полосы (и исключительно в Сложное поступательно-вращательное движение тела этом случае), ее среднее значение может быть вычислено как , где ―значения функции на концах промежутка усреднения Эта формула просто доказывается графически, исходя из формулы площади трапеции. Отсюда следует: если тело движется с неизменным ускорением , то его скорость ―линейная функция времени , и ее среднее значение на интервале времени может быть вычислено по Сложное поступательно-вращательное движение тела формуле

где и скорости тела в моменты времени и на концах промежутка усреднения.

Средние значения угловых величин определяются аналогичным образом при подмене характеристик на .

Пример 1. Тело движется по закону . Отыскать его среднюю скорость и среднее ускорение на интервале времени .

Дано: Отыскать:

Решение: Скорость тела Согласно определению средняя скорость и среднее ускорение Сложное поступательно-вращательное движение тела тела будут равны

,

.

Ответ:

Пример 2. Автомобиль начинает двигаться и за время наращивает свою скорость до значенияравногоv. Дальше он движется с этой скоростью в течение времени , а потом начинает тормозить и через время останавливается. Отыскать средние значения скорости и ускорения автомобиля за всегда его движения.

Дано: Отыскать:

Решение: Ускорения автомобиля на всех участках его движения: Зависимости скорости Сложное поступательно-вращательное движение тела автомобиля от времени имеют вид:

.

Построим графики зависимостей и вычислим средние значения скорости и ускорения тела графически.

Рис.14

График зависимости имеет вид трапеции (рис.14) с основаниями и высотой v. Площадь этой трапеции Тогда средняя скорость автомобиля за всегда его движения

Если , то независимо от времени разгона и торможения автомобиля Сложное поступательно-вращательное движение тела.

Аналогично графически рассчитывается среднее ускорение автомобиля (рис.15). С учетом и

.

Ответ:

Рис.15

Пример 3. Автомобиль, двигаясь равноускоренно, изменяет свою скорость от до 100 км/ч. Отыскать среднюю скорость автомобиля за время его разгона.

Дано: Отыскать:

Решение: При движении тела с неизменным ускорением его средняя скорость может быть вычислена по формуле

Ответ:


slozhnopodchinennoe-predlozhenie-i-a-babenko-fgbou-vpo-stavropolskij-gosudarstvennij-universitet-stavropol-rossiya.html
slozhnopodchinyonnie-predlozheniya-spp.html
slozhnosochinennoe-predlozhenie.html