Случайные величины, их характеристики

Случайные величины, их характеристики

Мы уже познакомились с понятием случайной величины, некими их качествами, формулами, которые могут быть применены в том, либо ином случае для подсчета вероятности случайного действия.

Выясним, какие случайные величины именуются дискретными, а какие непрерывными? Для этого разглядим два примера.

Пример 1. Число родившихся мальчишек из 100 новорожденных, естественно, случайная величина. Сколько же мальчишек возможно Случайные величины, их характеристики окажется посреди этих 100 новорожденных? И один, и два, и 3, 4,………..100. Таким макаром, случайная величина может принять одно из значений от 1 до 100. Ясно, что она не может принимать дробных значений. Если случайную величину считать функцией, то она изменяется дискретно (через единицу)и является дискретной случайной величиной.

Пример 2. Расстояние, которое Случайные величины, их характеристики пролетает снаряд при выстреле в заданную цель также случайная величина, которая зависит не только лишь от установки прицела, да и от силы и направления ветра, температуры воздуха, плотности порохового заряда и неких других характеристик. В итоге выстрела снаряд может попасть в цель, либо отклониться на некое расстояние, при этом хоть какое Случайные величины, их характеристики в неком промежутке. Как функция эта случайная величина меняется безпрерывно, другими словами мы имеем дело с непрерывной случайной величиной.

Итак,

Дискретной именуют случайную величину, которая воспринимает отдельные, изолированные значения с определенной вероятностью их возникновения. Число вероятных значений дискретной случайной величины может быть конечным и нескончаемым.

Непрерывной именуется Случайные величины, их характеристики случайная величина, которая может принимать любые значения в неком конечном либо нескончаемом промежутке. Разумеется, число вероятных значений непрерывной случайной величины нескончаемо.

Случайная величина (дискретная либо непрерывная) может принимать значения с разной вероятностью. Потому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее значения, нужно указать также возможность возникновения каждого из их Случайные величины, их характеристики.

Законом рассредотачивания дискретной случайной величины (о непрерывных случайных величинах будет сказано позже) именуют соответствие меж ее вероятными значениями и вероятностью их возникновения.

Закон рассредотачивания СВ может задаваться таблицей, либо графиком, представляющим многоугольник рассредотачивания. При его построении для дискретной случайной величины ее значения, обычно, откладываются по оси абсцисс, возможность Случайные величины, их характеристики возникновения этого значения - по оси ординат, потом точки соединяются прямыми.

Пример.

Табличное задание закона рассредотачивания СВ:

Пусть Случайная величина обозначается X, принимаемые ею значения , их вероятности , тогда закон рассредотачивания имеет вид

Таблица 1.

X
p 0,2 0,1 0,4 0,3

Графическое задание СВ

Выстроить многоугольник рассредотачивания для ДСВ:

Таблица 2

X
p 0,1 0,3 0,4 0,2

Если принимаемые ДСВ значения Случайные величины, их характеристики образуют полную группу, другими словами никакие другие невозможны, сумма вероятностей равна единице. В приведенных выше примерах значения случайных величин представляют полную группу.

Биномиальное рассредотачивание ДСВ.

Пусть делается n независящих испытаний, в каждом из которых событие A может произойти, а может не произойти. Возможность пришествия этого действия p во всех испытаниях схожа. Тогда Случайные величины, их характеристики возможность не пришествия действия . В качестве дискретной случайной величины X примем число наступивших событий A. Разумеется, вероятные значения X: Так как действия независящие, для определения вероятности пришествия каждого из их можно пользоваться формулой Бернулли:

а число сочетаний из n частей по k.

Если вспомнить формулу двучлена Ньютона

то коэффициенты Случайные величины, их характеристики разложения двучлена Ньютона совпадают с вероятностью соответственного действия в рассматриваемой задачке. 1-ый коэффициент разложения Ньютона определяет возможность возникновения действия A n раз, 2-ой соответственно (n-1) раз и т.д. Последний коэффициент определяет возможность того, что событие A не произойдет никогда.

Пример. Устройство состоит из 3-х независимо работающих частей. Возможность Случайные величины, их характеристики отказа каждого из частей схожа и равна 0,1. Составить закон рассредотачивания числа отказавших частей в одном опыте.

Дискретная случайная величина X, дающая число отказавших частей в одном опыте, воспринимает значения: и отражает безотказную работу либо отказ 1-го, 2-ух и 3-х частей соответственно. Возможность каждого действия возможность не пришествия действия Случайные величины, их характеристики, разумеется, тогда

Закон рассредотачивания ДСВ в этом примере задается таблицей 3

X
p 0,729 0,243 0,027 0,001

Проверка: 0,729+ 0,243 + 0,027 + 0,001= 1,000.

Рассредотачивание Пуассона

Формула Бернулли комфортна в случаях, когда число независящих испытаний n не очень велико, при огромных n обычно употребляется формула Лапласа, да и она не комфортна, если возможность действия мала. При большенном количестве испытаний и малой вероятности Случайные величины, их характеристики p каждого из их употребляют формулу Пуассона если неизменная и конечная величина. В согласовании с ней возможность пришествия k событий в n испытаниях равна

Докажем эту формулу. В согласовании с формулой Бернулли, которую можно представить последующим образом

Если в приобретенной формуле перейти к лимиту при , получим приближенное значение вероятности при огромных n и Случайные величины, их характеристики конечных :

что и требовалось обосновать.

Пример. Завод выслал на базу 5000 доброкачественных изделий. Возможность, что в момент транспортировки изделие придет в негодность 0,0002. Отыскать возможность того, что на базу придут 3 негожих изделия.

Итак, n = 5000, p = 0,0002, k = 3, тогда По формуле Пуассона

Геометрическое рассредотачивание

Проводятся независящие тесты, в каждом из их возможность Случайные величины, их характеристики пришествия действия равна p, а как следует, возможность не пришествия Тесты проводятся до того времени, пока не появится событие A. Обозначим за X число испытаний, которые нужно провести, чтоб пришло событие A. Вероятными значениями случайной величины X являются Пусть в первых событие A не пришло, появилось оно исключительно в k Случайные величины, их характеристики- м испытании. Тогда по аксиоме умножения независящих событий имеем

.

Принимая k от 1 до бесконечности, получаем вероятности событий в виде геометрической прогрессии с исходным членом p и знаменателем прогрессии q:

По этой причине рассредотачивание именуется геометрическим.

Пример. Из орудия стреляют до первого попадания в цель. Возможность попадания Отыскать возможность того, что цель будет Случайные величины, их характеристики поражена третьим выстрелом.

Числовые свойства дискретной случайной величины.

Если закон рассредотачивания, который стопроцентно охарактеризовывает случайную величину, не известен, употребляют другие сведения, дающие информацию о СВ. Это математическое ожидание, также дисперсия либо среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание, его характеристики.

Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины. Время от Случайные величины, их характеристики времени этого параметра довольно для получения нужной инфы о случайной величине. К примеру, если среднее количество выбиваемых очков у 1-го из стрелков выше, чем у другого, можно прийти к выводу, что 1-ый стрелок - наилучший из их.

Определение. Математическим ожиданием ДСВ именуется сумма произведений значений случайной величины на возможность Случайные величины, их характеристики ее возникновения:

Обоснуем эту формулу. Пусть произведено n испытаний, в каких случайная величина X приняла последующие значения: раз, раза,…. раз. Вычислим среднее значение этой случайной величины:

Ясно, что есть относительная частота возникновения действия и формулу можно переписать последующим образом

Подтверждено, что относительная частота действия при довольно большенном числе испытаний приближается к Случайные величины, их характеристики вероятности этого действия. Таким макаром,

Итак, математическое ожидание приближенно (при большенном количестве испытаний) равно среднему значению случайной величины.

Если ДСВ воспринимает нескончаемое количество значений, то

при этом ряд должен сходиться полностью.

Замечание. Математическое ожидание ДСВ уже не является случайной величиной, а воспринимает определенное неизменное значение.

Пример отыскать математическое ожидание ДСВ, данной Случайные величины, их характеристики таблицей 1.

Задание: Найти МО для СВ, задаваемых таблицами 2 и 3.

Свойство 1. Математическое ожидание неизменной величины равно самой неизменной:

Свойство 2. Постоянную величину можно вынести за символ математического ожидания:

Оба эти характеристики просто доказываются при помощи определения МО.

Свойство 3. Математическое ожидание произведения 2-ух независящих событий равно произведению математических ожиданий этих событий Случайные величины, их характеристики:

.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы 2-ух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

.

Аксиома. Математическое ожидание числа возникновений действия А в n независящих испытаниях равно произведению числа испытаний на возможность возникновения действия в каждом испытании.

Подтверждение. Разумеется, число возникновения действия А во всех испытаниях равно сумме количеств возникновения Случайные величины, их характеристики действия в каждом испытании. Но математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий (свойство 4). Так как тесты проводились в схожих критериях, математическое ожидание в каждом испытании равно вероятности возникновения действия в этом испытании, и они равны:

Дисперсия, ее характеристики.

Разглядим две случайные величины.

X - 0,01 0,01
p 0, 5 0, 5

Y - 50
p 0, 5 0, 5

Ясно, что Если Случайные величины, их характеристики эти случайные величины представляют собой отклонение снаряда от цели, то 1-ый же снаряд в первом случае поразит цель, а во 2-м случае она не будет поражена. Таким макаром, математическое ожидание не всегда дает нужную информацию. Нужно как то учитывать разброс значений. Для этого и вводится понятие дисперсии Случайные величины, их характеристики.

Разглядим закон рассредотачивания

Запишем закон рассредотачивания отклонений случайной величины от ее МО. Возможность отличия случайной величины совпадает с вероятностью ее возникновения, потому что МО - неизменная величина и на возможность не оказывает влияние. Тогда

Аксиома. Математическое ожидание отличия случайной величины равно нулю.

Подтверждение. Разглядим

Вышеприведенная цепочка рассуждений базирована на том, что математическое ожидание Случайные величины, их характеристики суммы (разности) случайных величин равна сумме (разности) их математических ожиданий, и что МО неизменной равно самой неизменной. Отсюда следует, что глупо оценивать разброс случайной величины, оценивая математическое ожидание отклонений, потому что оно всегда будет равно нулю. Чтоб избавиться от этого недочета, рассматривают квадраты отклонений.

Определение. Дисперсией (рассеянием) случайной величины Случайные величины, их характеристики именуется математическое ожидание квадратов ее отклонений:

Пример. Разглядим закон рассредотачивания с таблицей 1. Математическое ожидание случайной величины подсчитано ранее

Аксиома. Дисперсия равна разности меж математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

Подтверждение.

Проверим это на примере.

X
p 0,2 0,1 0,4 0,3

Свойство 1. Дисперсия неизменной величины равна нулю.

Свойство 2.

Свойство Случайные величины, их характеристики 3. Дисперсия суммы 2-ух независящих случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Свойство 4. Дисперсия числа возникновения действия А в n независящих испытаниях, в каждом из которых возможность возникновения действия p постоянна, равна произведению числа испытаний, вероятности возникновения действия и вероятности непоявления действия q = 1- p:

Среднее квадратическое отклонение.

Определение. Среднее квадратическе отклонение Случайные величины, их характеристики случайной величины X равно квадратному корню от дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение рассмотренной выше случайной величины равно

Замечание. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение так же, как и математическое ожидание, не являются случайными величинами, а имеют неизменное значение.

Аксиома Чебышева.

Для попарно независящих случайных величин имеющих одно и то же математическое ожидание a, если Случайные величины, их характеристики дисперсии этих величин ограничены, возможность неравенства

близка к единице, каким бы малым ни было

Это значит, что среднее арифметическое случайных величин сколь угодно не много отличается от математического ожидания при довольно большенном n.

Аксиома Бернулли.

Если в каждом из n независящих испытаний возможность p возникновения действия A Случайные величины, их характеристики постоянна, то как угодно близка к единице возможность, того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний довольно велико, другими словами

где m - число возникновения действия в n испытаниях.


smena-postelnogo-belya-poperechnim-sposobom.html
smena-prioritetov-razvitiya.html
smena-s-8-po-17-18-avgusta-bashkiriya.html